נולדה בשם אנה קוזנקוב בסוצ'י שברוסיה, וכעשור לאחר מכן ב-2010 היא עלתה לישראל עם אביה דניס קוזנקוב ואמהּ נטליה ואחותה הגדולה וסביהם, והם השתקעו באשדוד. טרם עלייתם, אמה נטליה הייתה אחות בבית חולים, ואביה דניס עסק בנדל"ן. לאחר מכן הוריה נפרדו, אביה ירד בחזרה לרוסיה. היא למדה בבית הספר מקיף ח' שבאשדוד. שם המשפחה "זק", שמשמש אותה, נבחר כשם במה קצר וקליט. משפחתו של אביה היא יהודית, בעוד משפחתה של אמהּ לא, ועל כן זק עצמה אינה נחשבת ליהודייה. ב-2018, בריאיון ל"את", סיפרה זק שהגם שאינה יהודייה, היא לא שקלה לעבור גיור, אך עם זאת, היא מרגישה מאוד מחוברת לישראל ולתרבותה. במרץ 2020 זק התגייסה לשירות בצה"ל.